Question

12．如圖所示，兩條平行的光滑金屬導軌固定在傾角為θ的絕緣斜面上，導軌間距為L，導軌上端連接一個阻值為3Ω的定值電阻R，在水平虛線L₁、L₂間有一與導軌所在斜面垂直向上的勻強磁場B，磁場區(qū)域的寬度為d，導體棒a、b放在斜面上，a棒的質(zhì)量m_a=0.2kg，電阻R_a=2Ω；b棒的質(zhì)量m_b=0.1kg，電阻R_b=2Ω，它們分別從圖中M、N處同時由靜止開始在導軌上無摩擦向下滑動，都能勻速穿過磁場區(qū)域，且當b棒剛穿出磁場時a棒正好進入磁場，重力加速度g=10m/s²，不計棒之間的相互作用，不計金屬導軌的電阻，導體棒始終與導軌垂直且與導軌接觸良好，導軌足夠長．求：
（1）安培力對導體棒a、b的作功之比W_a：W_b為多少．
（2）導體棒a、b在磁場中運動時速度之比V_a：V_b為多少．
（3）如果d=0.4m，則a棒開始運動時距虛線L₁的距離為l_a是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)金屬桿的受力平衡即安培力等于重力的分力解出兩桿的安培力大小，克服安培力做功等于重力所做的功；
（2）根據(jù)兩棒都是勻速穿過磁場區(qū)域，求出a、b的速度，結(jié)合a、b速度之比．
（3）結(jié)合運動學公式求出a棒開始運動時距虛線L₁的距離l_a．

解答 解：（1）導體棒a通過磁場時所受的安培力 F_a=m_agsinθ，
安培力對導體棒a作功  W_a=m_agsinθ•d
同理：安培力對導體棒b作功 W_b=m_bgsinθ•d
故W_a：W_b=m_a：m_b=2：1
（2）設b在磁場中勻速運動時速度為v_b，感應電流 I_b=$\frac{BL{v}_}{{R}_{總1}}$
b棒所受的安培力 F_b=BI_bL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_}{{R}_{總1}}$
由平衡條件得：F_b=m_bgsinθ
聯(lián)立解得：v_b=$\frac{{m}_g{R}_{總1}sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
同理：v_a=$\frac{{m}_{a}g{R}_{總2}sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
根據(jù)電路的結(jié)構可得：
  R_總1=R_b+$\frac{R{R}_{a}}{R+{R}_{a}}$=3.2Ω，R_總2=R_a+$\frac{R{R}_}{R+{R}_}$=3.2Ω
則得：v_a：v_b=m_a：m_b=2：1
（3）根據(jù)兩棒的運動關系可得：
  d=v_bt
  v_a=v_b+gsinθt，
聯(lián)立解得 $\frac{{v}_{a}^{2}}{gsinθ}$=1.6m
故a棒開始運動時距虛線L₁的距離為 l_a=$\frac{{v}_{a}^{2}}{2gsinθ}$=0.8m
答：（1）安培力對導體棒a、b的作功之比W_a：W_b為2：1．
（2）導體棒a、b在磁場中運動時速度之比V_a：V_b為2：1．
（3）如果d=0.4m，則a棒開始運動時距虛線L₁的距離為l_a是0.8m．

點評 解決本題的關鍵根據(jù)金屬桿的受力平衡，推導出v金屬桿下落到磁場的速度，掌握導體切割產(chǎn)生的感應電動勢大小，以及應用運動學關系式解決題目．