Question

11．嫦娥奔月是中國古代的神話傳說，當代中國航天人將它變成令人驕傲的現實，我國已經成功發射了三顆嫦娥系列探月衛星，引起了新一輪的“探月”熱潮．若將“嫦娥三號”繞月球的運動近似看作是勻速圓周運動．已知月球半徑R，月球表面的重力加速度為g₀，求：
（1）“嫦娥三號”繞月球運動的周期為T時，其軌道半徑r為多大？
（2）“嫦娥三號”在離月球表面高為2R的圓軌道上運行時，其速度v為多大？

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供圓周運動向心力與月球表面重力與萬有引力相等兩式求解軌道半徑r；
（2）根據萬有引力提供圓周運動向心力與月球表面重力與萬有引力相等兩式求解速度v．

解答 解：（1）在月球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
當衛星運動周期為T時有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$
由以上兩式解得：r=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）在月球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
在離月球表面高為2R的圓軌道上運行時有：$G\frac{mM}{（R+2R）^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R+2R}$
由以上兩式可解得v=$\sqrt{\frac{{g}_{0}R}{3}}$
答：（1）“嫦娥三號”繞月球運動的周期為T時，其軌道半徑r為$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）“嫦娥三號”在離月球表面高為2R的圓軌道上運行時，其速度v為$\sqrt{\frac{{g}_{0}R}{3}}$．

點評 解決本題的關鍵抓住兩點：一是星球表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供圓周運動的向心力．同時要熟練掌握萬有引力及向心力的不同表達式．