Question

11．起重機將質量為m=5×10³ kg的物體由靜止豎直吊起，起吊過程中做勻加速直線運動a=0.2m/s²，當起重機輸出功率達到其允許的最大時，保持該功率直到重物以v_m=1.02m/s做勻速運動，g=10m/s²，不計其他額外功．
（1）起重機允許輸出的最大功率；
（2）重物做勻加速運動所經歷的時間和起重機在第2秒末的輸出功率．

Answer 1

分析 首先要搞清重物運動的物理過程（F為起重機牽引力）：
第一階段：勻加速運動階段．
   開始階段，重物由靜止做勻加速直線運動，F不變，這個過程中V增大，起重機的實際功率P=FV也增大（F=mg+ma 不變，V增大）；
第二階段：變加速運動階段，加速度逐漸減小．
  起重機輸出功率達到其允許的最大值并保持不變時，此時重物仍做加速運動，由P=FV可知，速度增大，牽引力將減小，加速度逐漸減小，直到a=0．這個過程中P=FV不變（F減小，V增大）；
第三階段：勻速直線運動階段．
  當加速度減至0后，重物做勻速直線運動，速度已達到最大值V_m，此時F=mg，P=FV=mgV_m，不變．
（1）根據重物勻速運動的狀態，求出牽引力，即可由公式P=FV求解輸出的最大功率．
（2）先根據牛頓第二定律求出勻加速運動過程中牽引力的大小，再由P=FV求出勻加速運動剛結束時的瞬時速度，即可由速度公式求出時間．再求解起重機在第2秒末的輸出功率．

解答 解：（1）設起重機允許輸出的最大功率為P，重物達到最大速度時，拉力F等于重力．有：
P=Fv_m  
=mg   
代入數據得：P=5.0×10⁴W           
（2）勻加速運動結束時，起重機達到允許輸出的最大功率
P=Fv₁     
 F-mg=ma    
v₁=at₁     
聯立解得：t₁=5 s        
t=2 s時，v₂=at      
P=Fv₂     解得：P=2.04×10⁴W     
答：（1）起重機允許輸出的最大功率為5.0×10⁴W；
（2）重物做勻加速運動所經歷的時間和起重機在第2秒末的輸出功率分別為5s和5.0×10⁴W；

點評 高中物理中，分析受力和物理過程是非常重要的．最大功率要用第三階段中的P_m=FV=mgV_m計算，而不能用第一階段中的F與第三階段中的V_m的乘積計算，兩個F是不同的；V_m是最終速度，整個過程并不全是勻加速運動，不能用V_m=at來計算整個過程時間． 應該根據P_m=FV₁=（mg+ma）at來求t． 要注意某一時刻的物理量要對應起來．