Question

13．如圖所示，在xOy平面內分布著沿y軸正向的勻強電場，虛線是半徑r=$\sqrt{2}$a、圓心在（3a，0）的圓．質量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子從原點O以速度v₀沿x軸正向射出，其運動軌跡恰好與圓相切于點P．不計粒子的重力，求：
（1）粒子在P點的速度方向與x軸正向的夾角；
（2）勻強電場的場強E的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規律求出其軌跡方程，然后根據題意求出與圓的交點，再求出速度方向與x軸正方向的夾角．
（2）應用類平拋運動規律求出電場強度．

解答 解：如下圖：過B點作x軸垂線與圓交于P點，過P點做圓G 的切線交x軸于A點；由長度關系可證三角形BPG為等腰直角三角形，所以可得OA=AB=BP；由類平拋運動速度的延長線過水平位移的中點，可知P點即為粒子運動軌跡與圓的交點．
（1）粒子做類平拋運動，由題意可知，
粒子運動軌跡恰好與圓相切于點P，粒子運動軌跡如圖所示：

則，粒子的水平位移：x=2a，
由勾股定理得：y²+（3a-2a）²=（$\sqrt{2}$a）²，解得：y=a，
粒子在P點的速度方向與x軸正向的夾角的正切值：tanθ=$\frac{y}{\frac{x}{2}}$=$\frac{a}{\frac{2a}{2}}$=1，θ=45°；
（2）粒子做類平拋運動，
水平方向：x=2a=v₀t，
豎直方向：y=a=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qa}$；
答：（1）粒子在P點的速度方向與x軸正向的夾角為45；
（2）勻強電場的場強E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qa}$．

點評 本題難度較大，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡是解題的關鍵，應用類平拋運動規律與幾何知識可以解題；作出粒子的運動軌跡，軌跡與圓相切與P點，連切點P和圓心，圓心與P的連線是圓的半徑，與切線垂直，平拋運動切線的延長線過水平位移的中點，圓的切線與圓半徑垂直，這是圓與運動軌跡的共同的切線．