Question

17．如圖所示為我國“嫦娥一號衛星”從發射到進入月球工作軌道的過程示意圖．在發射過程中，經過一系列的加速和變軌，衛星沿繞地球“48小時軌道”在抵達近地點P時，主發動機啟動，“嫦娥一號衛星”的速度在很短時間內由v₁提高到v₂，進入“地月轉移軌道”，開始了從地球向月球的飛越．“嫦娥一號衛星”在“地月轉移軌道”上經過114小時飛行到達近月點Q時，需要及時制動，使其成為月球衛星．之后，又在繞月球軌道上的近月點Q經過兩次制動，最終進入繞月球的圓形工作軌道I．已知“嫦娥一號衛星”質量為m₀，在繞月球的圓形工作軌道I上運動的高度為h，月球的半徑r_月，月球的質量為m_月，萬有引力恒量為G．　　 

（1）求“嫦娥一號衛星”在繞月球圓形工作軌道?運動時的周期；
（2）理論證明，質量為m的物體由距月球無限遠處無初速釋放，它在月球引力的作用下運動至距月球中心為r處的過程中，月球引力對物體所做的功可表示為W=Gm_月m/r．為使“嫦娥一號衛星”在近月點Q進行第一次制動后能成為月球的衛星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，其第一次制動后的速度大小應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）設“嫦娥一號衛星”在圓軌道?上運動時距月球表面的高度為h，根據萬有引力定律和向心力公式有，化簡即可算出T．
（2）設“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后，在圓軌道?上運動的速度為v₁，則${v}_{1}=\frac{2π（{r}_{月}+h）}{T}$，代入上面h的值，化簡可達到v₁．
設“嫦娥一號衛星”在通過近月點脫離月球引力束縛飛離月球的速度為v₂，根據機械能守恒定律$\frac{1}{2}{m}_{0}{{v}_{2}}^{2}-G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{{r}_{月}+h}=0$，可解得v₂．所以，“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后的速度v應滿足的條件是：v₁＜v＜v₂．

解答 解：（1）設“嫦娥一號衛星”在圓軌道?上運動時距月球表面的高度為h，根據萬有引力定律和向心力公式有：
$G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{（{r}_{月}+h）^{2}}={m}_{0}（{r}_{月}+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：T=$2π\sqrt{\frac{（{r}_{月}+h）}{G{m}_{月}}}$
（2）設“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后，在圓軌道?上運動的速度為v₁，則有：
${v}_{1}=\frac{2π（{r}_{月}+h）}{T}$
解得：${v}_{1}=\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
設“嫦娥一號衛星”在通過近月點脫離月球引力束縛飛離月球的速度為u₂，根據機械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}{m}_{0}{{v}_{2}}^{2}-G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{{r}_{月}+h}=0$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
所以，“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后的速度u應滿足的條件是：
$\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}＜v＜\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
答：（1）“嫦娥一號衛星”在繞月球圓形工作軌道?運動時距月球表面的高度$h=\root{3}{\frac{G{{m}_{月}T}^{2}}{4{π}^{2}}}-{r}_{月}$．
（2）理論上使“嫦娥一號衛星”在近月點Q進行第一次制動后能成為月球的衛星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，最終進入圓形工作軌道，其第一次制動后的速度大小應滿足：
$\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}＜v＜\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$．

點評 抓住解題的關鍵：萬有引力提供衛星繞地球圓周運動的向心力．外力對衛星做的功等于衛星軌道轉移過程中的動能的變化．