Question

甲．乙兩質點同時開始在彼此平行且靠近的兩水平軌道上同方向運動，甲在前，乙在后，相距s，甲初速度為零，加速度為a，做勻加速直線運動，乙以速度v₀做勻速直線運動，關于兩質點在相遇前的運動，某同學作如下分析：
設兩質點相遇前，它們之間的距離為?s，則?s=

1

2

at²+s-v₀t，當t=

v0

a

時，兩質點間距離△s有最小值，也就是兩質點速度相等時，兩質點之間距離最近．
你覺得他的分析是否正確？如認為是正確的，請求出它們的最小距離；如認為是不正確的，請說明理由并作出正確分析．

Answer 1

分析：甲做勻加速直線運動，乙做勻速直線運動，可能速度相等時，甲乙兩物體相遇，最小距離為0；可能速度相等時，乙未追上甲，則速度相等時，有最小距離，因為以后乙的速度小于甲的速度，兩者距離逐漸增大；有可能速度相等前，兩物體已相遇，速度相等后，甲的速度大于乙的速度，然后甲又追上乙并超越．

解答：解：不正確．   
在兩質點相遇之前，它們之間的距離s也可能不斷減小，直至△s=0（相遇），而不存先變小后變大的情況，這完全取決于兩質點之間的初始距離s與v₀、a 之間的大小關系．
由s=v₀ t-

1

2

at² 可解得：t=

v0± v02-2as

a

．
可見，若 v₀²=2as，即s=

v02

2a

，則t=

v0

a

．當t≤

v0

a

時，甲乙之間的距離△s始終在減小，直至相遇（最小距離△s=0），不會出現s最小的情況      
當v₀²＜2as，即s＞

v02

2a

時，甲與乙不可能相遇；
在 t＜

v0

a

時，兩質點間距離會出現先變小后變大的情況，當 t=

v0

a

時，兩質點之間的距離最近：△s_min=s-

v02

2a

．
答：在 t＜

v0

a

時，兩質點間距離會出現先變小后變大的情況，當 t=

v0

a

時，兩質點之間的距離最近：△s_min=s-

v02

2a

．

點評：解決本題的關鍵理清兩物體的運動情況，結合運動學公式靈活求解．