Question

18．如圖所示，長為L的輕桿AB，可繞垂直于桿的水平軸O轉動，AO間距離為$\frac{L}{4}$，A、B兩端分別拴著質量為m和2m的小球，使桿在豎直面內以角速度ω勻速轉動，當AB桿轉到圖中虛線所示位置時，轉軸對桿的作用力多大，方向如何？

Answer 1

分析 在轉動過程中，輕桿共受三個力作用，即兩球對它的作用力和軸對它作用力．桿重不計，則三力合力為0．要求球對桿的作用力，必須先求出桿對球的作用力，結合牛頓第二定律進行求解．

解答 解：在圖示位置，設桿對A球的彈力N_A 方向向上，則有
mg-N_A=mω²$\frac{L}{4}$，N_A=mg-mω²$\frac{L}{4}$
而桿對B球作用力N_B方向一定向上，
故有   N_B-2mg=mω²$\frac{3L}{4}$，N_B=mω²$\frac{3L}{4}$+2mg
根據牛頓第三定律可知，兩球對桿的作用力大小分別與N_A、N_B大小相等而方向相反．
當mg-mω²$\frac{L}{4}$＞0，即ω＜$\sqrt{\frac{4g}{L}}$時，N_A 方向向上．兩球對桿作用力方向均向下，
故轉軸對桿作用力  N=N_A+N_B=3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上．
當mg-mω²$\frac{L}{4}$=0，即ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$時，N_A=0，
轉軸對桿作用力 N=N_B=mω²$\frac{3L}{4}$+2mg，方向向上．
當mg-mω²$\frac{L}{4}$＜0，即ω＞$\sqrt{\frac{4g}{L}}$時，N_A 方向向下，大小為N_A=mω²$\frac{L}{4}$-mg
A球對桿作用力方向向上，轉軸對桿作用力N=N_B-N_A=3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上．
答：ω＜$\sqrt{\frac{4g}{L}}$時，轉軸對桿作用力為3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上；ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$時，轉軸對桿作用力為mω²$\frac{3L}{4}$+2mg，方向向上；ω＞$\sqrt{\frac{4g}{L}}$時，轉軸對桿作用力3mg+mω²$\frac{L}{2}$，方向向上．

點評 解決本題的關鍵知道小球做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解，以及知道桿子受兩球作用力以及轉軸的作用力三個力的合力為零．