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如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，AF₁=3AF₂．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設

AF1

=λ1

F1B

 ，   

AF2

=λ2

F2C

，證明：當A點在橢圓上運動時，λ₁+λ₂是定值．

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如圖所示，多面體ABCDS中，四邊形ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，SD=

3

AD，M、N分別為AB、CD中點．
（1）求證：SM⊥AN；
（2）求二面角A-SC-D的余弦值．

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已知正方形ABCD的邊長為2，在正方形及其內部任選一點P（在正方形及其內部點的選取都是等可能的），作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，矩形PMAN的面積為S．
（1）請建立適當的坐標系，設P（x，y），寫出x，y滿足的條件，并作出滿足S≤1的P點的區域；
（2）求S≤1的概率．

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如圖，過點（0，a³）（0＜a＜2）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A，B兩點，AD，BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C，求矩形ABCD面積的最大值．

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已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），且f（4）=f（-2）=1，f′（x）為f（x）的導函數，函數y=f′（x）的圖象如圖所示，則在平面直角坐標系aOb中，平面區域

a≥0 b≥0 f(2a+b)＜1

的面積是

4

4

．

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