Question

（1）證明：函數f（x）=x³-x²+ln（x+1）在（-1，+∞）上是單調增函數；
（2）證明：ln

2010

2009

＞

2008

20093

．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數f′（x），在（-1，+∞）上恒有f′（x）＞0，故得證；
（2）由（1）的單調性得到f(

1

2009

)＞f(0)=0，故f(

1

2009

)=-

2008

20093

+ln

2010

2009

＞0，得證．

解答：證明：（1）對于函數f（x）=x³-x²+ln（x+1），
f′(x)=3x2-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

．---------------------（2分）
當x∈[0，+∞）時，f′（x）＞0；-----------------------（4分）
當x∈（-1，0）時，f′(x)=3x2-2x+

1

x+1

＞0．-----------------------（6分）
故當x∈（-1，+∞）時，總有f′（x）＞0．-----------------------（7分）
所以函數f（x）=x³-x²+ln（x+1）在區間（-1，+∞）上是單調增函數．-----------------------（8分）
（2）由（1）知，f(

1

2009

)＞f(0)，-----------------------（10分）
而f（0）=0．-----------------------（11分）
f(

1

2009

)=

1

20093

-

1

20092

+ln(

1

2009

+1)=-

2008

20093

+ln

2010

2009

．-----------------------（14分）
于是-

2008

20093

+ln

2010

2009

＞0，即ln

2010

2009

＞

2008

20093

．-----------------------（16分）

點評：本題主要考查了導數，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：
（1）確定 f（x）的定義域；
（2）求導數f′（x）；
（3）在函數 的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．