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設各項均為正實數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足4Sn=(an+1)2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的通項公式為bn=

an

an+t

（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差數列，求t和m的值；
（Ⅲ）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其三邊長為數列{a_n}中的三項an1，an2，an3．

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(2，

3

)，且它的離心率e=

1

2

．直線l：y=kx+t與橢圓C₁交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）當k=

3

2

時，求證：M、N兩點的橫坐標的平方和為定值；
（Ⅲ）若直線l與圓C2：(x-1)2+y2=1相切，橢圓上一點P滿足

OM

+

ON

=λ

OP

，求實數λ的取值范圍．

（2013•永州一模）提高大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當車流密度不超過50輛/千米時，車流速度為30千米/小時．研究表明：當50＜x≤200時，車流速度v與車流密度x滿足v(x)=40-

k

250-x

．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．
（Ⅰ）當0＜x≤200時，求函數v（x）的表達式；
（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到個位，參考數據

5

≈2.236）

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB1=

1

2

BC=a，∠ABC=90°，N、F分別為A₁C₁、B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求四面體F-BCN的體積．

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P為線段AB上的點，且

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，則xy的最大值為．

四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上，且底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥ABCD，PA=

2

，則該球的體積為．

f(x)=

-x2+ax， x≤1 ax-1，  x＞1

若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實數a的取值范圍是．