Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB1=

1

2

BC=a，∠ABC=90°，N、F分別為A₁C₁、B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求四面體F-BCN的體積．

Answer 1

分析：（I）根據直棱柱的性質及AB⊥BC，判定NF與平面BC₁的垂直關系，再由線面垂直的性質判斷線線垂直，然后由線線垂直⇒線面垂直．
（II）根據三棱錐的換底性求解即可．

解答：證明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁B⊥AB，BC⊥AB，又B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
又N、F分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點
∴AB∥A₁B₁∥NF．
∴NF⊥平面BB₁C₁C．
∵FC?平面BB₁C₁C．∴NF⊥FC．
∵BB₁=B₁F=C₁F=a，∴BF=CF=

2

a，BC=2a，
∴BF²+CF²=BC²．
∴BF⊥FC，又 NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，NF⊥平面BCC₁B₁，NF=

1

2

A1B1=

1

2

a，
VF-BCN=VN-BCF=

1

3

S△BCF•NF=

1

3

•

1

2

•BC•BB1•NF=

1

6

•2a•a•

1

2

a=

1

6

a3．

點評：本題考查線面垂直的判定及四面體的體積．