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如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點是F（1，0），0為坐標原點．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）點M是直線l：x=4上的動點，以OM為直徑的圓過點N，且NF⊥OM，是否存在一個定點，使得N到該定點的距離為定值？并說明理由．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，△PAD是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-B的正弦值．

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如圖，A地在B地東偏北45°方向相距2

2

km處，B地與東西走向的高鐵線（近似看成直線）l相距4km．已知曲線形公路PQ上任意一點到B地的距離等于到高鐵線l的距離，現要在公路旁建造一個變電房M（變電房與公路之間的距離忽略不計）分別向A地、B地送電．
（Ⅰ）試建立適當的直角坐標系求環形公路PQ所在曲線的軌跡方程；
（Ⅱ）問變電房M應建在相對A地的什么位置（方位和距離），才能使得架設電路所用電線長度最短？并求出最短長度．

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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=4，點E為AB中點．
（Ⅰ） 求證：BD₁∥平面A₁DE；
（Ⅱ） 求證：A₁D⊥平面ABD₁；
（Ⅲ） 求點B到面A₁DE的距離．

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