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【題目】在某次數學測驗中，學號為的四位同學的考試成績，且滿足.

（1）求四位同學的考試成績互不相同的概率；

（2）設四位同學中恰有位同學的考試成績為96分，求隨機變量的概率分布列及數學期望.

【題目】已知函數.

（1）若函數與有相同的極值點（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值），求的值；

（2）記.

①若在區間（為自然對數底數）上至少存在一點，使得成立，求的取值范圍；

②若函數圖象存在兩條經過原點的切線，求的取值范圍.

【題目】設為數列的前項和，若（為常數）對任意恒成立.

（1）若，求的值；

（2）若，且.

①求數列的通項公式；

②若數列滿足，且，求證：數列為等比數列.

【題目】某生態農場有一矩形地塊，地塊內有一半圓形池塘（如圖所示），其中百米，百米，半圓形池塘的半徑為1百米，圓心與線段的中點重合，半圓與的左側交點為.該農場計劃分別在和上各選一點，修建道路，要求與半圓相切.

（1）若，求該道路的總長；

（2）若為觀光道路，修建費用是4萬元/百米，為便道，修建費用是1萬元/百米，求修建觀光道路與便道的總費用的最小值.

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓，連接并延長交圓于點為橢圓長軸上一點（異于左、右焦點），過點作橢圓長軸的垂線分別交橢圓和圓于點（均在軸上方）.連接，記的斜率為，的斜率為.

①求的值；

②求證：直線的交點在定直線上.

【題目】在平面直角坐標系中，已知是圓的直徑.若與圓外離的圓上存在點，連接與圓交于點，滿足，則半徑的取值范圍是_________.

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.

【題目】在四棱錐中，底面為正方形，.

（1）證明：面⊥面；

（2）若與底面所成的角為， ，求二面角的余弦值．

【題目】某少兒游泳隊需對隊員進行限時的仰臥起坐達標測試.已知隊員的測試分數與仰臥起坐

個數之間的關系如下：；測試規則：每位隊員最多進行三組測試，每組限時1分鐘，當一組測完，測試成績達到60分或以上時，就以此組測試成績作為該隊員的成績，無需再進行后續的測試，最多進行三組；根據以往的訓練統計，隊員“喵兒”在一分鐘內限時測試的頻率分布直方圖如下：

（1）計算值；

（2）以此樣本的頻率作為概率，求

①在本次達標測試中，“喵兒”得分等于的概率；

②“喵兒”在本次達標測試中可能得分的分布列及數學期望.

【題目】已知數列,,且對任意n恒成立．

（1）求證:();

（2）求證:().