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【題目】已知函數.

(1)當時，求函數的極值；

(2)若恒成立，求的取值范圍；

(3)設函數的極值點為，當變化時，點(，)構成曲線M.證明:任意過原點的直線，與曲線M均僅有一個公共點.

【題目】已知數列的前項和滿足.

(1)證明數列為等差數列，并求出數列的通項公式.

(2)若不等式，對任意恒成立，求的取值范圍.

(3)記數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立，若存在，求出所有符合條件的有序實數對(，)；若不存在，請說明理由.

【題目】某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設計如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，CD⊥AB，∠DCE=，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角∠MEN=.已知CD=4m，CE=2m.

(1)當M，D重合時，求路燈在路面的照明寬度MN；

(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓C:(>>0)的右焦點為F(1，0)，且過點(1，)，過點F且不與軸重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點P在橢圓上，且滿足.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若，求直線AB的方程.

【題目】已知 為整數，且，，為正整數，，，記.

(1)試用分別表示；

(2)用數學歸納法證明：對一切正整數，均為整數．

(1) 求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值；

(2) 求二面角的余弦值．

【題目】已知數列，滿足：對于任意正整數n，當n≥2時，．

（1）若，求的值；

（2）若，，且數列的各項均為正數．

① 求數列的通項公式；

② 是否存在，且，使得為數列中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由.

【題目】已知函數（），是自然對數的底數．

（1）當時，求的單調增區間；

（2）若對任意的，（），求的最大值；

（3）若的極大值為，求不等式的解集．

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左頂點為，離心率為，過點的直線與橢圓交于另一點，點為軸上的一點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是以點為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的方程.

【題目】如圖，某機械廠要將長，寬的長方形鐵皮進行裁剪．已知點為的中點，點在邊上，裁剪時先將四邊形沿直線翻折到處（點，分別落在直線下方點，處，交邊于點，再沿直線裁剪．

（1）當時，試判斷四邊形的形狀，并求其面積；

（2）若使裁剪得到的四邊形面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由．