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【題目】某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關系式；右側曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關系式.已知點B到的距離為40米.

（1）求橋AB的長度；

（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?

【題目】已知函數，為的導函數．

（Ⅰ）當時，

（i）求曲線在點處的切線方程；

（ii）求函數的單調區間和極值；

（Ⅱ）當時，求證：對任意的，且，有．

【題目】已知為等差數列，為等比數列，．

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）記的前項和為，求證：；

（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．

【題目】已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.

（1）當時，求M點的極坐標；

（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.

【題目】已知函數．

Ⅰ若函數的最大值為3，求實數的值；

Ⅱ若當時，恒成立，求實數的取值范圍；

Ⅲ若，是函數的兩個零點，且，求證：．

方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.

方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.

（1）現有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎機會.

①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數學期望；

②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，中點，為線段上的一個動點.

（1）證明：平面；

（2）當二面角的余弦值為時，證明：.

【題目】2020年春節突如其來的新型冠狀病毒肺炎在湖北爆發，一方有難八方支援，全國各地的白衣天使走上戰場的第一線，某醫院抽調甲、乙兩名醫生，抽調、、三名護士支援武漢第一醫院與第二醫院，參加武漢疫情狙擊戰其中選一名護士與一名醫生去第一醫院，其它都在第二醫院工作，則醫生甲和護士被選在第一醫院工作的概率為（ ）

A.B.C.D.