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科目： 來源：不詳 題型：解答題

從0,1,2， ，10中挑選若干個不同的數字填滿圖中每一個圓圈稱為一種“填法”，若各條線段相連的兩個圓圈內的數字之差的絕對值各不相同，則稱這樣的填法為“完美填法”。
試問：對圖1和圖2是否存在完美填法？若存在，請給出一種完美填法；若不存在，請說明理由。

科目： 來源：不詳 題型：填空題

已知邊長分別為a、b、c的三角形ABC面積為S，內切圓O半徑為r，連接OA、OB、OC，則三角形OAB、OBC、OAC的面積分別為cr、ar、br，由S=cr+ar+br得r=，類比得若四面體的體積為V,四個面的面積分別為A、B、C、D，則內切球的半徑R=_____________.

科目： 來源：不詳 題型：填空題

已知數列：, 則(1)     ；
(2)在這個數列中，若是第８個值等于1的項，則         .

科目： 來源：不詳 題型：填空題

“公差為的等差數列的前項和為，則數列是公差為的等差數列”.類比上述性質有：“公比為的正項等比數列的前項積為，則數列____________”.

科目： 來源：不詳 題型：解答題

對于，把表示，當時，；當時，為0或1. 記為上述表示中為0的個數（例如：，，，），若，，，則（1）           .
（2）             .

科目： 來源：不詳 題型：填空題

科拉茨是德國數學家，他在1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數n,如果n是偶數，就將它減半（即）；如果n是奇數，則將它乘3加1（即），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1．如初始正整數為6，按照上述變換規則，我們可以得到一個數列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現在請你研究：
（1）如果，則按照上述規則施行變換后的第8項為           ．
（2）如果對正整數（首項）按照上述規則施行變換后的第8項為1（注：1可以多次出現），則的所有不同值的個數為           ．

科目： 來源：不詳 題型：填空題

已知，由不等式，，
，….在條件下，請根據上述不等式歸納出一個一般性的不等式         .

科目： 來源：不詳 題型：解答題

設是由個實數組成的行列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”.
(Ⅰ) 數表如表1所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）；
表1

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 數表如表2所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數的所有可能值；
表2

(Ⅲ)對由個實數組成的行列的任意一個數表，能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由.

科目： 來源：不詳 題型：填空題

數列的項是由1或2構成，且首項為1，在第個1和第個1之間有個2，即數列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數列的前項和為，則  ；  ．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

設是函數的零點．
（1）證明：；
（2）證明：．