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已知數列{}的前項和為  
（1）求證：數列是等比數列；
（2）設數列{}的前項和為,求 。

已知是單調遞增的等差數列，首項，前項和為，數列是等比數列，首項
（1）求和的通項公式.
（2）設，數列的前項和為，求證：．

已知曲線：,數列的首項，且
當時，點恒在曲線上，數列{}滿足
(1)試判斷數列是否是等差數列？并說明理由；
(2)求數列和的通項公式；
(3)設數列滿足，試比較數列的前項和與的大小．

已知數列具有性質：①為整數；②對于任意的正整數，當為偶數時，
；當為奇數時，.
（1）若為偶數，且成等差數列，求的值；
（2）設(且N)，數列的前項和為，求證：；
（3）若為正整數，求證：當(N)時，都有.

已知,數列滿足,數列滿足；又知數列中，，且對任意正整數，.
（Ⅰ）求數列和數列的通項公式；
（Ⅱ）將數列中的第項，第項，第項，……，第項，……刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列，求數列的前項和.

已知函數f（x）的圖象經過點（1，λ），且對任意x∈R，
都有f（x+1）=f（x）+2．數列{a_n}滿足．
（1）當x為正整數時，求f（n）的表達式；（2）設λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）若對任意n∈N^*，總有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求實數λ的取值范圍．

在數列中，
（Ⅰ）求數列的前項和；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求實數的最小值.

已知數列{a_n}中，a₂=1，前n項和為S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求證：數列{a_n}為等差數列，并寫出其通項公式；
（3）設，試問是否存在正整數p，q(其中1<p<q)，使b₁，b_p，b_q成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組(p，q)；若不存在，說明理由．

已知正項數列的前項和為，且 .
（1）求的值及數列的通項公式；
（2）求證：；
（3）是否存在非零整數，使不等式
對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律。下圖是一個11階楊輝三角：
（1）求第20行中從左到右的第4個數；
（2）若第n行中從左到右第14個數與第15個數的比為，求n的值；
（3）求n階（包括0階）楊輝三角的所有數的和；
（4）在第3斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數為35。顯然，1+3+6+10+15=35。事實上，一般地有這樣的結論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數之和，一定等于第m+1斜列中第k個數。試用含有m、k的數學公式表示上述結論，并給予證明。