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在數列中，已知.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列是等差數列；
（Ⅲ)設數列滿足，求的前n項和.

等差數列的公差為，且成等比數列．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和．

數列{}的前n項和為，，．
（1）設，證明：數列是等比數列；
（2）求數列的前項和；

對于給定數列，如果存在實常數使得對于任意都成立，我們稱數列是“數列”．
（Ⅰ）若，，，數列、是否為“數列”？若是，指出它對應的實常數，若不是，請說明理由；
（Ⅱ）證明：若數列是“數列”，則數列也是“數列”；
（Ⅲ）若數列滿足，，為常數．求數列前項的和．

設數列是等差數列，是各項均為正數的等比數列，且
（1）求數列的通項公式；
（2）若為數列的前項和，求.

設數列的前項和為，對任意的，都有，且；數列滿足.
（Ⅰ）求的值及數列的通項公式；
（Ⅱ）求證：對一切成立.

定義：如果數列的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列．對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.
（Ⅰ）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（Ⅱ）已知數列的首項為2010，是數列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數列；
（Ⅲ）根據“保三角形函數”的定義，對函數，，和數列1，，，（）提出一個正確的命題，并說明理由．

已知首項為的等比數列的前n項和為, 且成等差數列.
(Ⅰ) 求數列的通項公式;
(Ⅱ) 證明.

給定常數，定義函數，數列滿足.
（1）若，求及；
（2）求證：對任意，；
（3）是否存在，使得成等差數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.

設是公比為q的等比數列.
(Ⅰ) 推導的前n項和公式;
(Ⅱ) 設q≠1, 證明數列不是等比數列.