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已知數列的首項，是的前項和，且．
（1）若記，求數列的通項公式；
（2）記，證明：，．

已知數列{a_n}的前n項和為，,滿足，
（1）求的值；
（2）猜想的表達式．

已知數列{}滿足+=2n+1 （）
（1）求出，，的值；
（2）由（1）猜想出數列{}的通項公式，并用數學歸納法證明．

已知數列的前項和為滿足，且.
（1）試求出的值；
（2）根據的值猜想出關于的表達式，并用數學歸納法證明你的結論.

已知等比數列的各項均為正數，且  
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和 ；
（3）在(2)的條件下，求使恒成立的實數的取值范圍．

某校高一學生1000人，每周一次同時在兩個可容納600人的會議室，開設“音樂欣賞”與“美術鑒賞”的校本課程．要求每個學生都參加，要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數為，其余的人聽“美術鑒賞”課；從第二次起，學生可從兩個課中自由選擇．據往屆經驗，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學生，下一次會有20﹪改選“美術鑒賞”，而選“美術鑒賞”的學生，下次會有30﹪改選“音樂欣賞”，用分別表示在第次選“音樂欣賞”課的人數和選“美術鑒賞”課的人數．
(1)若，分別求出第二次,第三次選“音樂欣賞”課的人數；
(2)①證明數列是等比數列，并用表示；
②若要求前十次參加“音樂欣賞”課的學生的總人次不超過5800，求的取值范圍．

給定數列
(1)判斷是否為有理數,證明你的結論;
(2)是否存在常數.使對都成立? 若存在,找出的一個值, 并加以證明; 若不存在,說明理由.

（本題滿分18分）本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知數列滿足.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若是等比數列，且，正整數的最小值，以及取最小值時相應的僅比；
（3）若成等差數列，求數列的公差的取值范圍.

設數列的前項和為，滿足，，且.
（1）求、、的值；
（2）求數列的通項公式.

設
（1）若，求及數列的通項公式；
（2）若，問：是否存在實數使得對所有成立？證明你的結論.