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已知數(shù)列{}滿足，則的值為   ．

數(shù)列是等差數(shù)列，，其中，則此數(shù)列的前項(xiàng)和_______ .

兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如圖4中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…， 被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作，第2個(gè)五角形數(shù)記作，第3個(gè)五角形數(shù)記作，第4個(gè)五角形數(shù)記作，……，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，若，則                     ．

1         5            12               22

在數(shù)列中，，等于除以3的余數(shù)，則的前89項(xiàng)的和等于________.

在數(shù)列中，，等于除以3的余數(shù)，則的前89項(xiàng)的和等于________.

挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾，曾經(jīng)根據(jù)階梯形圖形的兩種不同分割(如下圖)，利用它們的面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的恒等式——阿貝爾公式：


則其中：(I)L₃=       ；(Ⅱ)L_n=       ．

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝1，以后各項(xiàng)由公式a_n＝a_n－1＋(n≥2，n∈N^*)給出，則a₄＝　　　.

.根據(jù)下面一組等式
S₁=1
S₂=2+3=5
S₃=4+5+6=15
S₄=7+8+9+10=34
S₅=11+12+13+14+15=65
S₆=16+17+18+19+20+21=111
S₇=22+23+24+25+26+27+28=175
… … … … … … … …
可得           .

已知數(shù)列的首項(xiàng)，若，，則      .

對(duì)于數(shù)列，若中最大值，則稱數(shù)列為數(shù)列的“凸值數(shù)列”.如數(shù)列2,1,3,7,5的“凸值數(shù)列”為2,2,3,7,7；由此定義，下列說法正確的有___________________．
①遞減數(shù)列 的“凸值數(shù)列”是常數(shù)列；②不存在數(shù)列，它的“凸值數(shù)列”還是本身；③任意數(shù)列的“凸值數(shù)列”是遞增數(shù)列；④“凸值數(shù)列”為1,3,3,9的所有數(shù)列的個(gè)數(shù)為3．