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已知為實數，數列滿足，當時，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）證明：對于數列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，當時，求證：(6分)

已知等比數列為遞增數列，且，.（Ⅰ）求；
（Ⅱ）令，不等式的解集為，求所有的和.

已知函數，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數．
（1）用表示；
（2）,若，試證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
（3）若數列的前項和，記數列的前項和，求．

已知函數，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數．
（1）用表示；
（2）,若，試證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
（3）若數列的前項和，記數列的前項和，求．

設，，數列滿足：，.
（Ⅰ）求證數列是等比數列（要指出首項與公比）；
（Ⅱ）求數列的通項公式.

已知數列的前項和是，且．求數列的通項公式；

如圖，已知曲線C：y＝x²(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取線段OQ的中點A₁，過A₁作x軸的垂線交曲線C于P₁，過P₁作y軸的垂線交RQ于B₁，記a₁為矩形A₁P₁B₁Q的面積．分別取線段OA₁，P₁B₁的中點A₂，A₃，過A₂，A₃分別作x軸的垂線交曲線C于P₂，P₃，過P₂，P₃分別作y軸的垂線交A₁P₁，RB₁于B₂，B₃，記a₂為兩個矩形A₂P₂B₂ A₁與矩形A₃P₃B₃B₁的面積之和．以此類推，記a_n為2^n－1個矩形面積之和，從而得數列{a_n}，設這個數列的前n項和為S_n．

(Ｉ)求a₂與a_n；
(Ⅱ)求S_n，并證明S_n＜．

已知，數列是首項為，公比也為的等比數列，令
（Ⅰ）若，求數列的前項和；
（Ⅱ）當數列中的每一項總小于它后面的項時，求的取值范圍.

已知，數列是首項為，公比也為的等比數列，令
（Ⅰ）求數列的前項和；
（Ⅱ）當數列中的每一項總小于它后面的項時，求的取值范圍.

已知各項均為正數的數列的前項和為，數列的前項和為，且.
⑴證明：數列是等比數列，并寫出通項公式；
⑵若對恒成立，求的最小值；
⑶若成等差數列，求正整數的值.