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設二次函數的圖像過原點，，的導函數為，且，
（1）求函數，的解析式；
（2）求的極小值；
（3）是否存在實常數和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，說明理由.

已知函數，．
（Ⅰ）設（其中是的導函數），求的最大值；
（Ⅱ）求證:當時，有；
（Ⅲ）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.

已知f(x)=xlnx.
（I）求f(x)在[t，t+2]（t>0）上的最小值；
（Ⅱ）證明：都有。

某廠生產產品x件的總成本(萬元)，已知產品單價P(萬元)與產品件數x滿足:，生產100件這樣的產品單價為50萬元，產量定為多少件時總利潤最大？

已知函數,．
（1）若對任意的實數,函數與的圖象在處的切線斜率總相等，求的值;
（2）若，對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

已知函數.
（1）試求函數的單調區間和極值;
（2）若 直線與曲線相交于不同兩點，若 試證明.

設函數.
（1）當，時，求函數的最大值；
（2）令，其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數的取值范圍；
（3）當，時，方程有唯一實數解，求正數的值.

已知函數上為增函數，且，，．
（1）求的值；
（2）當時，求函數的單調區間和極值；
（3）若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

已知函數
（1）若函數在點處的切線與圓相切，求的值；
（2）當時，函數的圖像恒在坐標軸軸的上方，試求出的取值范圍.

已知函數
（1）當時，求函數的單調區間;
（2）當函數自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同時，這樣的區間稱為函數的保值區間。設，試問函數在上是否存在保值區間？若存在，請求出一個保值區間；若不存在，請說明理由.