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已知對于任意非零實數(shù)m，不等式|4m－1|＋|1－m|≥|m|(|2x－3|－|x－1|)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為為參數(shù))．在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₁：的極坐標方程為P＝6coscp．射線l的極坐標方程為＝α，l與C₁的交點為A，l與C₂除極點外一個交點為B．當α＝0時，|AB|＝4．

(Ⅰ)求C₁，C₂直角坐標方程；

(Ⅱ)設(shè)C₁與y軸正半軸交點為D，當時，求直線BD的參數(shù)方程．

如圖所示，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，過A點作⊙O₁的切線交⊙O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O₁、⊙O₂于點D、E，DE與AC相交于點P．

(Ⅰ)求證：AD∥EC；

(Ⅱ)若AD是⊙O₂的切線，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的長．

已知函數(shù)

(Ⅰ)求f(x)的極值；

(Ⅱ)若x₁∈(0，＋∞)，x₂∈[1，2]使lnx₁＞x₁x－ax₁x₂成立，求a的取值范圍；

(Ⅲ)已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁＋x₂＜e，求證：(x₁＋x₂)^x₁^x₂＞(x₁x₂)^x₁^+x₂．

已知橢圓，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點，P為橢圓C上一點(不是頂點)，△PF₁F₂內(nèi)一點G滿足3＝＋，其中＝(a，a)．

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)若橢圓C短軸長為，過焦點F₂的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，求△F₁AB面積的最大值．

如圖，在三棱錐P－ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC，＝90°，AB＝BC＝2，∠PAB＝45°，點D、E、F分別為AC、AB、BC的中點．

(Ⅰ)求證：EF⊥PD；

(Ⅱ)求三棱錐D－PEF的體積；

(Ⅲ)求二面角E－PF－B的正切值．

上海世博會深圳館1號作品《大芬麗莎》是由大芬村507名畫師集體創(chuàng)作的999幅油畫組合而成的世界名畫《蒙娜麗莎》，因其誕生于大芬村，因此被命名為《大芬麗莎》．某部門從參加創(chuàng)作的507名畫師中隨機抽出100名畫師，測得畫師年齡情況如下表所示，

(Ⅰ)在頻率分布表中的①、②位置分別應(yīng)填數(shù)據(jù)為________、________；在答題卡的圖中補全頻率分布直方圖；

(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖估計這507名畫師中年齡在[30，35)歲的人數(shù)(結(jié)果取整數(shù))；

(Ⅲ)在抽出的100名畫師中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加上海世博會深圳館志愿者活動，其中選取2名畫師擔任解說員工作，記這2名畫師中“年齡低于30歲”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

已知a＞0，函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項，S_n是前n項和，證明：S_n－1＜lnn(n≥2)．

設(shè)動點P(x，y)(x≥0)到定點的距離比到y(tǒng)軸的距離大．記點P的軌跡為曲線C．

(Ⅰ)求點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)圓M過A(1，0)，且圓心M在P的軌跡上，BD是圓M在y軸的截得的弦，當M運動時弦長BD是否為定值？說明理由；

(Ⅲ)過作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S，求四邊形面GRHS的最小值．

如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SA⊥底面ABCD，AB＝2，AD＝1，SB＝，∠BAD＝120°，E在棱SD上，

(Ⅰ)當SE＝3ED時，求證：SD⊥平面AEC；

(Ⅱ)當二面角S－AC－E的大小為30°時，求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．