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已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)若P與A，B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁·k₂為定值；

(Ⅲ)M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若，求點M的軌跡方程．

已知函數f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．

(Ⅰ)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)的單調區間；

某班同學利用寒假進行社會實踐，對[25，55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：

(Ⅰ)補全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；

(Ⅱ)從年齡段在[40，50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領隊，求選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40，45)歲的概率．

在三棱錐P－ABC中，ΔPAC和ΔPBC是邊長為的等邊三角形，AB＝2，O是AB中點．

(Ⅰ)在棱PA上求一點M，使得OM∥平面PBC；

(Ⅱ)求證：平面PAB⊥平面ABC．

已知函數f(x)＝x²－2(n＋1)x＋n²＋5n－7．

(Ⅰ)設函數y＝f(x)的圖像的頂點的縱坐標構成數列{a_n}，求證：{a_n}為等差數列；

(Ⅱ)設函數y＝f(x)的圖像的頂點到x軸的距離構成數列{b_n}，求{b_n}的前n項和S_n．

已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的圖象的一部分如下圖所示．

(Ⅰ)求函數f(x)的解析式；

(Ⅱ)當x∈[－6，－]時，求函數y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應的x的值．

已知函數f(x)＝x＋ln(1－x)，e為自然對數的底數．

(1)若x＜1時，恒有f(x)＋m≤0成立，求實數m的取值范圍；

(2)若x≥2，n∈N^*，證明

已知點M是直線上的動點，為定點，過點M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點P．

(1)求點P的軌跡方程；

(2)經過點Q(a，0)(a＞0)且與x軸不垂直的直線l與點P的軌跡有兩個不同交點A、B，若在x軸上存在點C，使得△ABC為正三角形，求實數a的取值范圍．

已知數列{a_n}中

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)已知{b_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數N，都有成立．求證：

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，側面ACC₁A₁是的菱形，且側面ACC₁A₁⊥底面ABC，D為AC的中點．

(1)求證：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；

(2)若點E為AA₁上的一點，當CE⊥BB₁時，求二面角A－EC－B的正切值．