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選修4－1：幾何證明選講

如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F．

(Ⅰ)求的值；(4分)

(Ⅱ)若△BEF的面積為S₁，四邊形CDEF的面積為S₂，求S1∶S₂的值．

已知函數f(x)＝alnx(x－1)²－ax(常數a∈R)．

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)設a＞0．如果對于f(x)的圖象上兩點P₁(x₁，f(x₁))，P₂(x₂，f(x₂))(1＜x₁＜x₂)，存在x₀∈(x₁，x₂)，使得f(x)的圖象在x＝x₀處的切線m∥P₁P₂，求證：．

已知F₁，F₂分別為橢圓的上下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：x²＝4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF₁|＝．

(1)求橢圓C₁的方程；

(2)已知點P(1，3)和圓O：x²＋y²＝b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足且λ≠±1．

求證：點Q總在某定直線上．

如圖，在三棱拄ABC－A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知

(1)求證：C₁B⊥平面ABC；

(2)當E為CC₁的中點時，求二面角A－EB₁－A₁的平面角的正切值．

某校的學生記者團由理科組和文科組構成，具體數據如下表所示：

學校準備從中選出4人到社區舉行的大型公益活動進行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生則給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學生都有．(Ⅰ)求理科組恰好記4分的概率？

(Ⅱ)設文科男生被選出的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

海島B上有一座高為10米的塔，塔頂的一個觀測站A，上午11時測得一游船位于島北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，一分鐘后測得該游船位于島北偏西75°方向上，且俯角45°的D處．(假設游船勻速行駛)

(1)求該船行使的速度(單位：米/分鐘)

(2)又經過一段時間后，游船到達海島B的正西方向E處，問此時游船距離海島B多遠．

已知不等式x＋|x－2c|＞1

(1)當c＝1時，解此不等式．

(2)若不等式的解集為R，求正實數c的取值范圍．

已知直線l經過定點P(－3，－)與圓C：(為參數)相交于AB兩點．

(1)若|AB|＝8，求直線l的方程；

(2)若點P()為弦AB的中點，求直線AB的方程．

如圖，已知AB是圓O的直徑，直線CD與圓O相切于點C，AC平分∠DAB

(1)求證：AD⊥CD

(2)若AD＝2，AC＝，求AB的長

已知三點A(－1，0)，B(1，0)，C(－1，)，以AB為焦點的橢圓經過點C

(1)求橢圓的方程

(2)設點D(0，1)，是否存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，使，若存在，求出直線l斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由．