Question

已知函數f(x)=ex-

a

2

x2+e2x，其中e為自然對數的底數，a∈R．
（I）當a=e²時，求曲線y=f（x）在x=-2處的切線方程；
（II）若函數f（x）在[-2，2]上為單調增函數，求a的最大值．

Answer 1

分析：（I）當a=e²時，對f（x）進行求導，求出其在x=-2處的斜率，根據點斜式求出切線的方程；
（II）函數f（x）在[-2，2]上為單調增函數，可得f′（x）=e^x-ax+e²≥0對任意的x∈[-2，2]恒成立，分兩種情況：x=0或x≠0，從而求解；

解答：解：由題意得f（x）的定義域為R，且f′（x）=e^x-ax+e²，
（I）由于a=e²，則f（x）=e^x-

e2

2

x²+e²x，f′（x）=e^x-e²x+e²，
故f（-2）=e^-2-4e²，f′（-2）=e^-2+3e²，
所以f（x）在x=-2處的切線方程為：y=f′（-2）（x+2）+f（-2），即y=（e^-2+3e²）x+3e^-2+2e²，
（II）因為f（x）在[-2，2]上為單調增函數；
所以f′（x）=e^x-ax+e²≥0對任意的x∈[-2，2]恒成立，
①當x=0時，不等式成立；
②當x≠0時，即可轉化為不等式a≤

ex+e2

x

對x∈（0，2]恒成立且不等式
a≥

ex+e2

x

對x∈[-2，0）恒成立，
令h（x）=

ex+e2

x

，-2≤x≤2，x≠0，則h′（x）=

xex-ex- e2

x2

令p（x）=xe^x-e^x-e²，則p′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x，
當x∈[-2，0），p′（x）＜0，；當x∈（0，2]時，p′（x）＞0，
故p（x）在[-2，0）上單調遞減，在（0，2]上單調遞增；
又p（2）=0，p（-2）＜0，
所以當x∈[-2，0）時，h′（x）＜0；當x∈（0，2]時，h′（x）≤0，
所以h（x）在∈[-2，0）上單調遞減，在∈（0，2]上單調遞減．
所以h（x）在∈[-2，0）上的最大值M=h（-2）=-

e-2+e2

2

，在（0，2]上的最小值N=h（2）=e²，
所以滿足條件的實數a的取值范圍為：[-

e-2+e2

2

，e²]，所以實數a的最大值為e²

點評：此題主要考查利用導數研究導數的單調性，利用了分類討論的思想，此題是一道綜合性題，有一定的難度；