Question

已知函數f(x)=

e-x-2，(x≤0) 2ax-1，(x＞0)

（a是常數且a＞0）．對于下列命題：
①函數f（x）的最小值是-1；
②函數f（x）在R上是單調函數；
③若f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；
④對任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①由圖只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；
②只需說明函數f（x）在R上的單調性即可；
③只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，則當x=

1

2

時，函數取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；
④已知函數在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，故D正確．

解答：
解：①由圖只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；故正確；
②由圖象說明函函數f（x）在R上不是單調函數；故錯；
③只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，則當x=

1

2

時，函數取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；故正確；
④已知函數函數在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1) +f(x2)

2

，故正確．
故答案為：①③④．

點評：利用函數的圖象研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值是常用的方法，解答本題的關鍵是圖象法．