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(2012•海淀區一模)已知函數f(x)=e-kx(x2+x-
1k
)(k<0)

(Ⅰ)求f(x)的單調區間;
(Ⅱ)是否存在實數k,使得函數f(x)的極大值等于3e-2?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)求出f'(x))=-e-kx(kx-2)(x+1)(k<0),令f'(x)=0,解得:x=-1或x=
2
k
.按兩根-1,
2
k
的大小關系分三種情況討論即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)分情況求出函數f(x)的極大值,令其為3e-2,然后解k即可,注意k的取值范圍;
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定義域為R,
f′(x)=-ke-kx(x2+x-
1
k
)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]
,即 f'(x)=-e-kx(kx-2)(x+1)(k<0).
令f'(x)=0,解得:x=-1或x=
2
k

①當k=-2時,f'(x)=2e2x(x+1)2≥0,
故f(x)的單調遞增區間是(-∞,+∞);
②當-2<k<0時,f(x),f'(x)隨x的變化情況如下:
x (-∞,
2
k
)
2
k
(
2
k
,-1)
-1 (-1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
所以,函數f(x)的單調遞增區間是(-∞,
2
k
)
和(-1,+∞),單調遞減區間是(
2
k
,-1)

③當k<-2時,f(x),f'(x)隨x的變化情況如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,
2
k
)
2
k
(
2
k
,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
所以,函數f(x)的單調遞增區間是(-∞,-1)和(
2
k
,+∞)
,單調遞減區間是(-1,
2
k
)

綜上,當k=-2時,f(x)的單調遞增區間是(-∞,+∞);當-2<k<0時,f(x)的單調遞增區間是(-∞,
2
k
)
和(-1,+∞),單調遞減區間是(
2
k
,-1)
;
當k<-2時,f(x)的單調遞增區間是(-∞,-1)和(
2
k
,+∞)
,單調遞減區間是(-1,
2
k
)

(Ⅱ) ①當k=-2時,f(x)無極大值.
②當-2<k<0時,f(x)的極大值為f(
2
k
)=e-2(
4
k2
+
1
k
)

e-2(
4
k2
+
1
k
)=3e-2
,即
4
k2
+
1
k
=3
,解得 k=-1或k=
4
3
(舍).
③當k<-2時,f(x)的極大值為f(-1)=-
ek
k

因為 ek<e-2,0<-
1
k
1
2
,所以 -
ek
k
1
2
e-2

因為 
1
2
e-2<3e-2
,所以 f(x)的極大值不可能等于3e-2,
綜上所述,當k=-1時,f(x)的極大值等于3e-2
點評:本題考查利用導數研究函數的單調性及求函數極值問題,考查分類討論思想,考查學生邏輯推理能力,屬中檔題.
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(Ⅱ)如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿,請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿;
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9
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2
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