Question

18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，D為AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面B₁CD；
（2）求二面角B-B₁C-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁交B₁C于點E，E為BC₁的中點，由為AB的中點，則AC₁∥DE，又AC₁?平面B₁CD，DE?平面B₁CD，AC₁∥平面B₁CD；
（2）AC=BC，D為AB的中點，CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，可知平面B₁CD⊥平面B₁BD，過點B作BH⊥B₁D，垂足為H，則BH⊥平面B₁CD，B₁C⊥BE，B₁C⊥EH，
∠BEH為二面角B-B₁C-D的平面角，Rt△BHE中，BE=$\sqrt{2}$，BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，則sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：（1）證明：如圖，連接BC₁交B₁C于點E，
則E為BC₁的中點．
∵D為AB的中點，∴在△ABC₁中，AC₁∥DE，
又AC₁?平面B₁CD，DE?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD
（2）∵AC=BC，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
∴平面B₁CD⊥平面B₁BD，
過點B作BH⊥B₁D，垂足為H，則BH⊥平面B₁CD，
連接EH，
∵B₁C⊥BE，B₁C⊥EH，
∴∠BEH為二面角B-B₁C-D的平面角．
在Rt△BHE中，BE=$\sqrt{2}$，BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
則sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即二面角B-B₁C-D的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于中檔題．