Question

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，側面A₁ACC₁上底面ABC，∠A₁AC=60°．

(1)求側棱AA₁與平面AB₁C所成角的大小；

(2)已知點D滿足，在直線AA₁上是否存在點P，使DP∥平面AB₁C?若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：∵側面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O上AC于點O，

    ∴A₁O⊥平面ABC．

    又∠ABC=∠A₁AC=60°，且各棱長都相等，

    ∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC．

故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O一，

則A(0，一1，0)，B(，0，0)，A₁(0，0，)，C(0，1，0)， =(0，1，)．

∴,．

設平面AB₁C的法向量為

則

解得n=(一1，0，1)．

由．

而側棱AA₁與平面AB₁C所成角，即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，

∴側棱AA₁與平面AB₁C所成的角為．

(2)∵，

而，．

∴．

又∵B(，0，0)，∴點D的坐標為D(一，0，0)．

假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P(0，，)．

∴

∴DP//平面AB₁C，n=(一1，0，1)為平面AB₁C的法向量，

∴由，得，∴．

    又DP平面AB₁C，

    故存在點P，使DP//平面AB₁C，其坐標為(0，0，)，即恰好為A₁點．