Question

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在底面ABC內的射影O恰為線段AC的中點.

   （Ⅰ）求側棱AA₁與平面A₁BC所成角的正弦值；

   （Ⅱ）已知點D為點B關于點O的對稱點，在直線AA₁上是否存在點P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：以O為坐標原點，DB，OC，OA₁依次為軸、軸，軸正方向建立空間直角坐標系，則點A₁(0,0,)，A(0,-1,0)，B(,0,0)，C(0,1,0)

   （Ⅰ），

設平面A₁BC的一個法向量為

則

∴=(

設直線AA₁與平面A₁BC所成角為θ

則  sinθ=|cos<,>|=

即側棱AA₁與平面A₁BC所成角正弦值為.

   （Ⅱ）設B₁(，則

∵  

∴=  ∴

∴B₁,   

∴

設平面ACB₁的一個法向量是，

則

∴=(-1,0,1)

假設在AA₁上存在P(0,m,n)使DP∥平面AB₁C,

∵D、B關于O對稱    ∴D    ∴=(,m,n)

∴=   ∴n=

故當點P與A₁重合時，DP∥平面AB₁C．