Question

.(本題滿分16分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分，)

如圖，已知橢圓，，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線、的斜率分別為、，證明；

(3)是否存在常數，使得

恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解(1)由題意知，橢圓中，，得，

又，所以可解得，，所以，

所以橢圓的標準方程為；分

所以橢圓的焦點坐標為(，0)，因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為．分

(2)設，則分

因為點在雙曲線上，所以分

因此   即分

(3)由于的方程為，將其代入橢圓方程得

由韋達定理得

∴分

    同理可得

    則，又

    ∴,

故

    即存在， 使恒成立．分

 

【解析】略