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若方程lgkx=2lg(x+1)僅有一個(gè)實(shí)根,那么k的取值范圍是   
【答案】分析:先將方程lgkx=2lg(x+1)轉(zhuǎn)化為lgkx-2lg(x+1)=0,先對(duì)參數(shù)k的取值范圍進(jìn)行分類討論,得出函數(shù)的定義域再分別研究?jī)H有一根時(shí)的參數(shù)的取值范圍,得出答案.
解答:解:由題意,當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)定義域是(0,+∞),當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)定義域是(-1,0)
當(dāng)k>0時(shí),lgkx=2lg(x+1)
∴l(xiāng)gkx-2lg(x+1)=0
∴l(xiāng)gkx-lg(x+1)2=0,即kx=(x+1)2在(0,+∞)僅有一個(gè)解
∴x2-(k-2)x+1=0在(0,+∞)僅有一個(gè)解
令f(x)=x2-(k-2)x+1
又當(dāng)x=0時(shí),f(x)=x2-(k-2)x+1=1>0
∴△=(k-2)2-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍,或4
k=0時(shí)lgkx無(wú)意義,舍去
∴k=4
當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)定義域是(-1,0)
函數(shù)y=kx是一個(gè)遞減過(guò)(-1,-k)與(0,0)的線段,函數(shù)y=(x+1)2在(-1,0)遞增且過(guò)兩點(diǎn)(-1,0)與(0,1),此時(shí)兩曲線段恒有一個(gè)交點(diǎn),故k<0符合題意
故答案為:k=4或k<0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查在對(duì)數(shù)方程的應(yīng)用,要按照解對(duì)數(shù)方程的思路熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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