Question

若方程lgkx=2lg（x+1）僅有一個實根，那么k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先將方程lgkx=2lg（x+1）轉化為lgkx-2lg（x+1）=0，先對參數k的取值范圍進行分類討論，得出函數的定義域再分別研究僅有一根時的參數的取值范圍，得出答案．
解答：解：由題意，當k＞0時，函數定義域是（0，+∞），當k＜0時，函數定義域是（-1，0）
當k＞0時，lgkx=2lg（x+1）
∴lgkx-2lg（x+1）=0
∴lgkx-lg（x+1）²=0，即kx=（x+1）²在（0，+∞）僅有一個解
∴x²-（k-2）x+1=0在（0，+∞）僅有一個解
令f（x）=x²-（k-2）x+1
又當x=0時，f（x）=x²-（k-2）x+1=1＞0
∴△=（k-2）²-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍，或4
k=0時lgkx無意義，舍去
∴k=4
當k＜0時，函數定義域是（-1，0）
函數y=kx是一個遞減過（-1，-k）與（0，0）的線段，函數y=（x+1）²在（-1，0）遞增且過兩點（-1，0）與（0，1），此時兩曲線段恒有一個交點，故k＜0符合題意
故答案為：k=4或k＜0．
點評：本題主要考查在對數方程的應用，要按照解對數方程的思路熟練應用對數的性質及其運算法則轉化問題．