Question

若方程lgkx=2lg（x+1）僅有一個實根，那么k的取值范圍是______．

Answer 1

由題意，當k＞0時，函數定義域是（0，+∞），當k＜0時，函數定義域是（-1，0）
當k＞0時，lgkx=2lg（x+1）
∴lgkx-2lg（x+1）=0
∴lgkx-lg（x+1）²=0，即kx=（x+1）²在（0，+∞）僅有一個解
∴x²-（k-2）x+1=0在（0，+∞）僅有一個解
令f（x）=x²-（k-2）x+1
又當x=0時，f（x）=x²-（k-2）x+1=1＞0
∴△=（k-2）²-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍，或4
k=0時lgkx無意義，舍去
∴k=4
當k＜0時，函數定義域是（-1，0）
函數y=kx是一個遞減過（-1，-k）與（0，0）的線段，函數y=（x+1）²在（-1，0）遞增且過兩點（-1，0）與（0，1），此時兩曲線段恒有一個交點，故k＜0符合題意
故答案為：k=4或k＜0．