Question

已知兩點(diǎn)A（0，1），B（0，b），若拋物線x²=4y上存在點(diǎn)C使△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)b=

5或-

1

3

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由點(diǎn)在拋物線可得y₀=

x02

4

，由距離公式代入AB=AC=BC，解之可得．

解答：解：可知拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為A（0，1），準(zhǔn)線為y=-1，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由點(diǎn)在拋物線可得y₀=

x02

4

由拋物線的定義可得AC=y₀-（-1）=

x02

4

+1，
要使△ABC為等邊三角形，則必滿足AB=AC=BC，
故可得（b-1）²=(

x02

4

+1)2=x02+(

x02

4

-b)2，
解之可得b=5，或b=-

1

3

故答案為：5或-

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及兩點(diǎn)間的距離的應(yīng)用和拋物線的定義，屬中檔題．