Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（-1，3）若點C滿足

OC

=a1

OA

+a2012

OB

，其中{a_n}為等差數列，且a₁₀₀₆+a₁₀₀₇=1，則點C的軌跡方程為（　　）

A．3x+2y-11=0

B．（x-1）²+（y-2）²=5

C．2x-y=0

D．x+2y-5=0

Answer 1

分析：先利用等差數列的通項性質得出a₁+a₂₀₁₂=1，利用點C滿足

OC

=a1

OA

+a2012

OB

，從而可知A，B，C三點共線，求出直線AB的方程，即可得點C的軌跡方程．

解答：解：∵{a_n}為等差數列，且a₁₀₀₆+a₁₀₀₇=1
∴a₁+a₂₀₁₂=1
∴a₂₀₁₂=1-a₁，
∵點C滿足

OC

=a1

OA

+a2012

OB

，
∴

OC

=a1

OA

+(1-a1)

OB

∴

OC

-

OB

=a1(

OA

 -

OB

)
∴

BC

=a1

BA

∴A，B，C三點共線
∵點A（3，1），B（-1，3）
∴直線AB的方程為

y-1

3-1

=

x-3

-1-3

即x+2y-5=0
∴點C的軌跡方程為x+2y-5=0
故選D．

點評：本題以數列為載體，考查數列與向量的聯系，解題的關鍵是利用等差數列的通項的性質，將問題轉化為三點共線求解．