Question

已知橢圓C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），上頂點為M，且△MF₁F₂是等邊三角形．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點Q（4，0）的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B，設點A關于x軸的對稱點為A₁，求證：直線A₁B與x軸交于一個定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

分析：（1）由題設知，b=

3

，a2=b2+1=4，由此能求出C的方程．
（2）當l不垂直于y軸時，設l的方程為x=ky+4，由

x=ky+4 3x2+4y2=12

，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，由△＞0，知b²＞4．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（x₁，-y₁），y1+y2=-

24k

3k2+4

，y1y2=

36

3k2+4

，直線x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=-

24k

3k2+4

=y1+y2，由此能夠證明直線A₁B恒過定點（1，0）．

解答：解：（1）由題設知，b=

3

，a2=b2+1=4，
∴C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）直線l不垂直于x軸，
當l不垂直于y軸時，設l的方程為x=ky+4，
由

x=ky+4 3x2+4y2=12

，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，
∵△＞0，∴b²＞4．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（x₁，-y₁），
y1+y2=-

24k

3k2+4

，y1y2=

36

3k2+4

，
直線A1B： y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
∵x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=-

24k

3k2+4

=y1+y2，
∴直線A1B：y-y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)即y=

y1+y2

x2-x1

(x-1)恒過定點（1，0）．
∴A₁B恒過定點（1，0）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．