Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，且經過點P(1，

3

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率和將點P坐標代入橢圓方程中，解得a²，b²，從而求出橢圓方程．
（2）第一步：根據橢圓方程先求出左焦點，再求出以橢圓C的長軸為直徑的圓的方程及圓心和半徑，
    第二步：求出以PF為直徑的圓的方程及圓心和半徑，再根據圓心距與兩半徑的關系得到兩圓相切．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，且經過點P(1，

3

2

)．

a2-b2 a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1

即

3a2-4b2=0 1 a2 + 9 4b2 =1

解得

a2=4 b2=3

∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵a²=4，b²=3，∴c= 

a2-b2

=1．
∴橢圓C的左焦點坐標為（-1，0）．
以橢圓C的長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，圓心坐標是（0，0，半徑為2
以PF為直徑的圓的方程為x2+(y-

3

4

)2=

25

16

，圓心坐標為（0，

3

4

），半徑為

5

4

∵兩圓心之間的距離為 

(0-0)2+( 3 4 -0)2

=2-

5

4

，
故以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切．

點評：此題考查橢圓方程的求法，及兩圓之間位置關系的判定，尤其是兩圓位置關系的判定是解析幾何在高考中的熱點問題．