Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為

2

2

，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=

AP+BQ

PQ

，若直線l的斜率k≥

3

，則λ的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：根據已知條件求出橢圓C的方程，再由直線l過橢圓C的右焦點，設出直線l的方程，聯系橢圓C和直線l的方程組，利用一元二次方程根與系數的關系能求出λ的取值范圍．

解答：解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為

2

2

，
∴

2b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C：

x2

2

+y2=1，
∵過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，
∴設直線l的方程為y=k（x-1），
聯立

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞y₂，
則x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
∴λ=

AP+BQ

PQ

=

2-x1+2-x2

y1-y2

=

4-(x1+x2)

k(x1-1)-k(x2-1)

=

4- 4k2 2k2+1

k (x1+x2)-4x1x2

=

4- 4k2 2k2+1

k ( 4k2 2k2+1 )2-4× 2k2-2 2k2+1

=

2k2+2

k

=

2+ 2 k2

，
∵k≥

3

，
∴當k=

3

時，λ_max=

2+ 2 3

=

2 6

3

，
當k→+∞時，λ_min→

2

，
∴λ的取值范圍是(

2

，

2 6

3

]．
故答案為：(

2

，

2 6

3

]．

點評：本題考查橢圓知識的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．