Question

已知f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-3．
（1）求函數f（x）的最小正周期．
（2）求函數f（x）在閉區間[

π

16

，

3π

16

]上的最小值并求當f（x）取最小值時，x的取值集合．

Answer 1

分析：通過同角三角函數的基本關系式，二倍角公式化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）利用周期公式求出函數的最小正周期．
（2）通過x∈[

π

16

，

3π

16

]，求出  4x∈[

π

4

，

3π

4

]，利用函數的單調性，求出函數的最小值，以及x的集合即可．

解答：解：f（x）=2（sin²x+cos²x）²-4sin²xcos²x+cos²2x-3
=2×1-sin²2x+cos²2x-3
=cos²2x-sin²2x-1
=cos4x-1
（1）函數的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

．
（2）x∈[

π

16

，

3π

16

]
  4x∈[

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）=cos4x-1在[

π

16

，

3π

16

]是減函數
 當x=

3π

16

時
f（x）有最小值f（

3π

16

）=cos

3π

4

-1=-

2

2

-1，此時x的集合是{

3π

4

}

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，函數的周期的求法，函數在閉區間上的最值的求法，考查計算能力．