Question

四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，PA=PD，PA⊥PD，PB=PC．
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中點M，BC中點N，連接MN、PN、PM，先證明BC⊥平面PMN，可得BC⊥PM，同理可得PM⊥AD，利用線面垂直的判定，可得PM⊥平面ABCD，根據面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接BD，證明BD⊥平面PAD，則∠BPD為直線PB與平面PAD所成角，從而可求直線PB與平面PAD所成角的正切值．

解答：（Ⅰ）證明：取AD中點M，BC中點N，連接MN、PN、PM，

則MN是直角梯形ABCD的中位線，∴MN∥AB∥CD，
∵BC⊥AB，∴MN⊥BC，
∵PB=PC，∴△PBC是等腰△，∴PN⊥BC，
∵PN∩NB=N，∴BC⊥平面PMN，
∵PM?平面PMN，∴BC⊥PM，
同理PA=PD，∴PM⊥AD，
∵四邊形ABCD是梯形，∴在平面ABCD上，AD和BC不平行必相交于一點F，
∴PM⊥平面ABCD，
∵PM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接BD，則在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，則BD⊥AD，BD=AD=

2

，
∵BD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD
∴BD⊥平面PAD
∴∠BPD為直線PB與平面PAD所成角
∵PA=PD，PA⊥PD
∴PB=1
∴tan∠BPD=

BD

PD

=

2

．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直、考查線面角，掌握線面垂直、面面垂直的判定方法，正確作出線面角是關鍵．