Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）求證：PC∥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)PA⊥平面ABCD確定PA為四棱錐P-ABCD的高，進(jìn)而根據(jù)棱錐的體積公式可求出四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅱ）連接AC交BD于O，再連接OE，根據(jù)中位線(xiàn)定理可得到PC∥OE，再由線(xiàn)面平行的判定定理可證明PC∥OE，得證．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PA
=

1

3

×12×2=

2

3

即四棱錐P-ABCD的體積為

2

3

．

（Ⅱ）連接AC交BD于O，連接OE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴O是AC的中點(diǎn)．
又∵E是PA的中點(diǎn)，
∴PC∥OE．
∵PC∉平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查棱錐的體積公式和線(xiàn)面平行的判定定理的應(yīng)用．考查對(duì)定理的掌握情況和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．