Question

在直角坐標系中，角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點O為圓心）交于A、B兩點，函數，若對x∈R恒成立．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的對稱軸與單調遞減區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數量積公式，結合對x∈R恒成立，確定函數的解析式；
（2）利用余弦函數的性質，即可求函數f（x）的對稱軸與單調遞減區間．
解答：解：（1）∵角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點O為圓心）交于A、B兩點，
∴=（cosφ，sinφ），=（cos2x，sin2x）
∴=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵對x∈R恒成立，
∴=1，即cos（2×-φ）=1
∴
∴φ=，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kx+）]=cos（2x-），
即函數f（x）的解析式為f（x）=cos（2x-）
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-），
令2x-=kπ，k∈Z，得x=，k∈Z，
∴f（x）的對稱軸為x=，k∈Z，
∵2kπ，k∈Z，
kπ，k∈Z，
故函數f（x）的單調遞減區間為[]，k∈Z，
點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數性質，考查學生計算能力，屬于中檔題．