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7.已知數列{an}的前n項和為Sn,且${S_n}=\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}$.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足${b_n}={a_{n+1}}-{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$,且數列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<2n+$\frac{5}{12}$.

分析 (1)根據數列的通項an和Sn的關系,即可求解{an}的項公式;
(2)由bn=2+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$),即可利用裂項相消法求數列{bn}的前n項和為Tn,繼而得以證明.

解答 (本小題滿分12分)
解:(1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{3n}{2}$-$\frac{{(n-1)}^{2}}{2}$-$\frac{3(n-1)}{2}$=n+1,
又當n=1時,a1=S1=2適合an=n+1;
∴an=n+1.…(5分)
(2)證明:由(1)知bn=n+3-(n+1)+$\frac{1}{(n+3)(n+1)}$=2+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$),…(7分)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2n+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$)…(10分)
=2n+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$)<2n+$\frac{5}{12}$…(12分).

點評 本題考查數列遞推式的應用,考查裂項法求和,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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