Question

已知函數f （x ）=x³-x，
（Ⅰ）若不等式f（x）＜k-2005對于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整數k；
（Ⅱ）令函數g（x）=f（x）-ax²+x（a≥2），求曲線y=g（x）在（1，g（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
令時，解得，
當x變化時，變化如下：

由上表可知：，
又，，
比較可得：當時，，
因為恒成立，所以，即，
所以最小正整數。
（Ⅱ），
則，
所以，
又因為，
所以切線方程為，
令，，
令，，
所以，
因為，
則，
則，
所以，即S在單調遞增，
所以a=2時，。