Question

某光學(xué)儀器廠有一條價(jià)值為a萬(wàn)元的激光器生產(chǎn)線，計(jì)劃通過技術(shù)改造來(lái)提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬(wàn)元與技術(shù)改造投入x萬(wàn)元之間滿足：
①y與（a-2x）•x²成正比；
②當(dāng)時(shí)，，并且技術(shù)改造投入滿足，其中t為常數(shù)且t∈（1，2]．
（I）求y=f（x）表達(dá)式及定義域；
（Ⅱ）求技術(shù)改造之后，產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)y=k（a-2x）x²．由時(shí)，可得k=4．所以y=4（a-2x）x²，由此能求出函數(shù)f（x）的定義域．
（II）由y=-8x³+4ax²，知．令y'=0得．因?yàn)閠∈（1，2]，所以．由此能求出技術(shù)改造之后，產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．
解答：解：（I）設(shè)y=k（a-2x）x²．
由時(shí)，可得k=4．
所以y=4（a-2x）x²．…（3分）
由，
解得．
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230158296772634/SYS201311012301582967726021_DA/9.png">．…（6分）
（II）由（I）知y=-8x³+4ax²，
所以．
令y'=0得．…（8分）
因?yàn)閠∈（1，2]，
所以，即．
當(dāng)時(shí)，y'＞0，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，y'＜0，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)．…（11分）
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得最大值，且最大值是．…..（13分）
所以，1＜t≤2時(shí)，投入萬(wàn)元最大增加值萬(wàn)元．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查y=f（x）表達(dá)式及定義域，求技術(shù)改造之后，產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．