Question

某光學儀器廠有一條價值為萬元的激光器生產線，計劃通過技術改造來提高該生產線的生產能力，提高產品的增加值. 經過市場調查，產品的增加值萬元與技術改造投入萬元之間滿足：①與成正比；②當時，，并且技術改造投入滿足，其中為常數且.

（I）求表達式及定義域；

（II）求技術改造之后，產品增加值的最大值及相應的值.

Answer 1

解：（I）設.

  由時，可得.

  所以.          ………………………………………………………3分

  由解得.

  所以函數的定義域為.      ………………………………6分

（II）由（I）知，所以.

  令得.      ………………………………………………………………8分

  因為，所以，即.

  當時，，函數是增函數；

  當時，，函數是減函數.   ……………………………11分

  所以當時，函數取得最大值，且最大值是.  …………………..13分

  所以，時，投入萬元最大增加值萬元.    ………………………14分