Question

某光學儀器廠有一條價值為a萬元的激光器生產線，計劃通過技術改造來提高該生產線的生產能力，提高產品的增加值．經過市場調查，產品的增加值y萬元與技術改造投入x萬元之間滿足：
①y與（a-2x）•x²成正比；
②當x=

a

4

時，y=

a3

8

，并且技術改造投入滿足

x

a-x

∈(0，t]，其中t為常數且t∈（1，2]．
（I）求y=f（x）表達式及定義域；
（Ⅱ）求技術改造之后，產品增加值的最大值及相應x的值．

Answer 1

分析：（I）設y=k（a-2x）x²．由x=

a

4

時，y=

a3

8

可得k=4．所以y=4（a-2x）x²，由此能求出函數f（x）的定義域．
（II）由y=-8x³+4ax²，知y′=-24x2+8ax=-24x(x-

a

3

)．令y'=0得x=

a

3

．因為t∈（1，2]，所以

at

t+1

＞

a

3

．由此能求出技術改造之后，產品增加值的最大值及相應x的值．

解答：解：（I）設y=k（a-2x）x²．
由x=

a

4

時，y=

a3

8

可得k=4．
所以y=4（a-2x）x²．…（3分）
由0＜

x

a-x

≤t，
解得0＜x≤

at

t+1

．
所以函數f（x）的定義域為(0，

at

t+1

](1＜t≤2)．…（6分）
（II）由（I）知y=-8x³+4ax²，
所以y′=-24x2+8ax=-24x(x-

a

3

)．
令y'=0得x=

a

3

．…（8分）
因為t∈（1，2]，
所以

at

t+1

-

a

3

=

2at-a

3(t+1)

=

a(2t-1)

3(t+1)

＞0，即

at

t+1

＞

a

3

．
當0＜x＜

a

3

時，y'＞0，函數y=f（x）是增函數；
當

a

3

＜x≤

at

t+1

時，y'＜0，函數y=f（x）是減函數．…（11分）
所以當x=

a

3

時，函數y=f（x）取得最大值，且最大值是

4a3

27

．…..（13分）
所以，1＜t≤2時，投入

1

3

a萬元最大增加值

4

27

a3萬元．…（14分）

點評：本題考查y=f（x）表達式及定義域，求技術改造之后，產品增加值的最大值及相應x的值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意導數的性質的靈活運用．