Question

在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點。

（1）求點C到平面的距離；

(2)求二面角的余弦值;

(3)若M,N分別為直線上動點,求MN的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

(3)異面直線的距離即為MN的最小值

【解析】

試題分析：解:（1）連接AO, 因為平面ABC,所以,因為,

得,在中,

在中，則又

設點C到平面的距離為

則由得，從而……4分

(2)如圖所示,分別以所在的直線 為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則A(1,0,0), C(0,-2,0), A₁(0.0,2),B(0,2,0), ，.

設平面的法向量,

又

由,得,

令,得,即。 

設平面的法向量, 又

由,得,令,得,即。 

所以 ，……7分

由圖形觀察可知，二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值是. ……9分

(3)方法1.在中,作于點E,因為,得.

因為平面ABC,所以,因為,

得,所以平面,所以,

所以平面.從而

在中,為異面直線的距離，即為MN的最小值。……14分

方法2.設向量,且

令,得,即。

所以異面直線的距離即為MN的最小值�！�…14分

考點：空間中點線面的位置關系

點評：解決的關鍵是熟練的根據空間中的線面垂直性質定理以及二面角的平面角的定義和異面直線距離的求解得到，屬于基礎題。